Die 13 Arten mathematischer Funktionen (und ihre Eigenschaften)

April 4, 2024

Mathematik ist eine der technischsten und objektivsten wissenschaftlichen Disziplinen. Es ist der Hauptrahmen, von dem aus andere Wissenschaftszweige Messungen durchführen und mit den Variablen der untersuchten Elemente arbeiten können, und zwar so, dass sie neben einer eigenen Disziplin neben der Logik eine der Grundlagen der wissenschaftliches Wissen

In der Mathematik werden jedoch sehr unterschiedliche Prozesse und Eigenschaften untersucht, wobei zwischen ihnen die Beziehung zwischen zwei Größenordnungen oder verknüpften Domänen besteht, in denen ein konkretes Ergebnis durch oder in Abhängigkeit von dem Wert eines konkreten Elements erhalten wird. Es geht um das Vorhandensein mathematischer Funktionen, die sich nicht immer auf die gleiche Art und Weise auswirken oder aufeinander beziehen.

Deshalb Wir können über verschiedene Arten mathematischer Funktionen sprechen , von denen wir in diesem Artikel sprechen werden.

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Funktionen in der Mathematik: Was sind sie?

Bevor wir die wichtigsten Arten von mathematischen Funktionen ermitteln, ist es nützlich, eine kurze Einführung zu machen, um klar zu machen, worüber wir reden, wenn wir über Funktionen sprechen.

Mathematische Funktionen sind definiert als der mathematische Ausdruck der Beziehung zwischen zwei Variablen oder Größen . Diese Variablen werden aus den letzten Buchstaben des Alphabets X und Y symbolisiert und erhalten jeweils den Namen von Domäne und Codomäne.

Diese Beziehung wird so ausgedrückt, dass das Vorhandensein einer Gleichheit zwischen den beiden analysierten Komponenten angestrebt wird, und im Allgemeinen impliziert dies, dass für jeden der Werte von X ein einzelnes Ergebnis von Y vorliegt und umgekehrt (obwohl es Klassifizierungen von Funktionen gibt, die nicht übereinstimmen mit dieser Anforderung).

Auch diese Funktion ermöglicht die Erstellung einer Darstellung in Form einer Grafik was wiederum die Vorhersage des Verhaltens einer der Variablen von der anderen sowie mögliche Grenzen dieser Beziehung oder Änderungen des Verhaltens der Variablen ermöglicht.

Wie es passiert, wenn wir sagen, dass etwas von etwas anderem abhängt oder von etwas anderem abhängt (um ein Beispiel zu geben, wenn wir bedenken, dass unsere Note im mathematischen Test eine Funktion der Anzahl der Stunden ist, die wir lernen), wenn wir über eine mathematische Funktion sprechen Wir weisen darauf hin, dass das Erzielen eines bestimmten Werts vom Wert eines anderen mit ihm verknüpften Wert abhängt.

In der Tat ist das vorige Beispiel direkt in Form einer mathematischen Funktion auszudrücken (obwohl die Beziehung in der realen Welt viel komplexer ist, da sie tatsächlich von mehreren Faktoren und nicht nur von der Anzahl der untersuchten Stunden abhängt).

Hauptarten mathematischer Funktionen

Hier zeigen wir einige der wichtigsten Arten von mathematischen Funktionen, die in verschiedene Gruppen eingeteilt sind entsprechend ihrem Verhalten und der Art der Beziehung, die zwischen den Variablen X und Y hergestellt wird .

1. Algebraische Funktionen

Unter den algebraischen Funktionen wird der Satz von Typen mathematischer Funktionen verstanden, die durch das Festlegen einer Beziehung charakterisiert werden, deren Komponenten entweder Monome oder Polynome sind, und deren Beziehung durch die Durchführung relativ einfacher mathematischer Operationen erhalten wird : Addition Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung oder Etablierung (Verwendung von Wurzeln). Innerhalb dieser Kategorie können wir viele Typen finden.

1.1. Explizite Funktionen

Unter expliziten Funktionen werden solche Arten von mathematischen Funktionen verstanden, deren Beziehung direkt erhalten werden kann, indem einfach der entsprechende Wert durch die Domäne x ersetzt wird. Mit anderen Worten, es ist die Funktion, in der direkt Wir finden eine Entzerrung zwischen dem Wert von und einer mathematischen Beziehung, in der die Domäne x beeinflusst .

1.2. Implizite Funktionen

Im Gegensatz zu den vorherigen wird in den impliziten Funktionen die Beziehung zwischen Domäne und Codomäne nicht direkt hergestellt, sondern es ist notwendig, verschiedene Transformationen und mathematische Operationen durchzuführen, um die Art und Weise zu finden, in der x und y zusammenhängen.

1.3. Polynomfunktionen

Polynomialfunktionen, die manchmal als synonym für algebraische Funktionen und andere als Unterklasse von diesen verstanden werden, integrieren die Menge von Arten mathematischer Funktionen, bei denen Um die Beziehung zwischen Domäne und Codomäne zu erhalten, müssen mehrere Vorgänge mit Polynomen durchgeführt werden von unterschiedlichem Grad.

Lineare oder erstklassige Funktionen sind wahrscheinlich die am einfachsten zu lösende Funktion und gehören zu den ersten, die erlernt werden sollen. In ihnen gibt es einfach eine einfache Beziehung, in der ein Wert von x einen Wert von y erzeugt, und seine grafische Darstellung ist eine Linie, die die Koordinatenachse um einen Punkt schneiden muss. Die einzige Variation ist die Steigung der Linie und der Punkt, an dem sie die Achse schneidet, wobei immer die gleiche Art von Beziehung beibehalten wird.

In ihnen können wir die Identitätsfunktionen finden, bei denen es eine direkte Identifikation zwischen Domäne und Codomäne gibt in der Weise, dass beide Werte immer gleich sind (y = x), die linearen Funktionen (bei denen wir nur eine Änderung der Steigung beobachten, y = mx) und die zugehörigen Funktionen (bei denen wir Änderungen am Grenzpunkt des Signals feststellen können) Abszisse und Steigung, y = mx + a).

Die quadratischen oder Funktionen zweiten Grades sind diejenigen, die ein Polynom einführen, bei dem eine einzelne Variable über die Zeit ein nichtlineares Verhalten hat (eher in Bezug auf die Codomäne). Ab einer bestimmten Grenze tendiert die Funktion in einer der Achsen zu unendlich. Die grafische Darstellung wird als Parabel festgelegt und mathematisch ausgedrückt als y = ax2 + bx + c.

Konstante Funktionen sind die, bei denen Eine einzelne reelle Zahl ist die Determinante der Beziehung zwischen Domäne und Codomäne . Das heißt, es gibt keine echte Abweichung in Abhängigkeit von dem Wert von beiden: Die Codedomäne ist immer eine Konstante, es gibt keine Domänenvariable, die Änderungen einführen kann. Einfach y = k.

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1.4. Rationale Funktionen

Rationale Funktionen sind die Menge von Funktionen, bei denen der Wert der Funktion aus einem Quotienten zwischen Nicht-Null-Polynomen bestimmt wird. In diesen Funktionen enthält die Domäne alle Zahlen außer denjenigen, die den Nenner der Division annullieren, wodurch kein Wert y erhalten werden kann.

Bei dieser Art von Funktionen erscheinen bekannte Grenzwerte als Asymptoten Dies wären genau die Werte, bei denen es keinen Domänen- oder Codebereichswert geben würde (d. h. wenn y und x gleich 0 sind). In diesen Grenzen neigen die grafischen Darstellungen dazu, unendlich zu sein, ohne diese Grenzen zu berühren. Ein Beispiel für diese Art von Funktion: y = √ ax

1,5. Irrationale oder radikale Funktionen

Sie erhalten den Namen von irrationalen Funktionen, die eine Menge von Funktionen enthalten, in denen eine rationale Funktion in ein Radikal oder eine Wurzel eingeführt wird (die nicht quadratisch sein muss, da sie möglicherweise kubisch ist oder einen anderen Exponenten enthält).

Um es lösen zu können Wir müssen bedenken, dass die Existenz dieser Wurzel bestimmte Einschränkungen auferlegt B. die Tatsache, dass die Werte von x immer dazu führen müssen, dass das Ergebnis der Wurzel positiv ist und größer als oder gleich Null ist.

1.6. Funktionen, die durch Stücke definiert werden

Diese Art von Funktionen sind solche, bei denen der Wert von y das Verhalten der Funktion ändert. Es gibt zwei Intervalle mit sehr unterschiedlichem Verhalten, basierend auf dem Wert der Domäne. Es wird einen Wert geben, der nicht Teil davon ist. Dies ist der Wert, von dem sich das Verhalten der Funktion unterscheidet.

2. Transzendente Funktionen

Transzendentale Funktionen sind mathematische Darstellungen von Beziehungen zwischen Größen, die nicht durch algebraische Operationen erhalten werden können und für die Um ihre Beziehung zu erhalten, muss ein komplexer Berechnungsprozess durchgeführt werden . Es umfasst hauptsächlich Funktionen, die die Verwendung von Ableitungen, Integralen, Logarithmen erfordern oder deren Wachstum stetig zunimmt oder abnimmt.

2.1. Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen sind, wie der Name andeutet, die Menge von Funktionen, die eine Beziehung zwischen Domäne und Codomäne herstellen, in der eine Wachstumsbeziehung auf Exponentialebene hergestellt wird, d. H. Ein zunehmend beschleunigtes Wachstum. Der Wert von x ist der Exponent, dh die Art und Weise, in der Der Wert der Funktion variiert und wächst mit der Zeit . Das einfachste Beispiel: y = ax

2.2. Protokollfunktionen

Der Logarithmus einer beliebigen Zahl ist derjenige Exponent, der zur Erhöhung der Basis benötigt wird, um die bestimmte Zahl zu erhalten. Die logarithmischen Funktionen sind also diejenigen, bei denen wir als Domäne die Nummer verwenden, die auf einer bestimmten Basis erhalten werden soll. Dies ist der umgekehrte und umgekehrte Fall der Exponentialfunktion .

Der Wert von x muss immer größer als Null sein und von 1 abweichen (da jeder Logarithmus mit Basis 1 gleich Null ist). Das Wachstum der Funktion nimmt mit steigendem Wert von x ab. In diesem Fall ist y = loga x

2.3. Trigonometrische Funktionen

Ein Funktionstyp, der die numerische Beziehung zwischen den verschiedenen Elementen, aus denen ein Dreieck oder einer geometrischen Figur besteht, und insbesondere die Beziehungen zwischen den Winkeln einer Figur festlegt. Innerhalb dieser Funktionen finden wir die Berechnung von Sinus, Cosinus, Tangens, Sekante, Cotangens und Cosecant vor einem bestimmten Wert x.

Eine andere Klassifizierung

Der oben erläuterte Satz mathematischer Funktionstypen berücksichtigt, dass für jeden Wert der Domäne ein einzelner Wert der Codomäne entspricht (dh jeder Wert von x wird einen bestimmten Wert von y verursachen). Obwohl diese Tatsache in der Regel als grundlegend und grundlegend betrachtet wird, ist es durchaus möglich, einige zu finden Arten von mathematischen Funktionen, bei denen es zu Abweichungen kommen kann, wenn es sich um Übereinstimmungen zwischen x und y handelt . Im Einzelnen können wir die folgenden Arten von Funktionen finden.

1. Injective Funktionen

Der Name von injektiven Funktionen ist der Typ einer mathematischen Beziehung zwischen Domäne und Codomäne, in der jeder Wert der Codomäne nur mit einem Wert der Domäne verknüpft ist. Das heißt, x kann nur einen einzelnen Wert für einen bestimmten Wert haben, oder es kann keinen Wert haben (d. H. Ein bestimmter Wert von x ist möglicherweise nicht auf y bezogen).

2. surektive Funktionen

Die surjektiven Funktionen sind alle, bei denen Jedes einzelne Element oder Wert der Codomäne (y) bezieht sich auf mindestens eine Domäne (x). , obwohl sie mehr sein können. Es muss nicht unbedingt injektiv sein (um mehrere Werte von x demselben y zuordnen zu können).

3. Bijektivfunktionen

Die Art der Funktion, in der sowohl die injektiven als auch die surjektiven Eigenschaften angegeben sind, wird als solche bezeichnet. Ich meine Es gibt einen einzelnen Wert von x für jedes und und alle Domänenwerte entsprechen einer der Codomänen.

4. Nichtinjektive und nicht-surjektive Funktionen

Diese Arten von Funktionen zeigen an, dass es für eine bestimmte Codomäne mehrere Werte der Domäne gibt (dh verschiedene Werte von x geben uns das gleiche y), während andere Werte von y nicht mit einem Wert von x verknüpft sind.

Literaturhinweise:

Eves, H. (1990). Grundlagen und Grundbegriffe der Mathematik (3. Auflage). Dover
Hazewinkel, M. ed. (2000). Enzyklopädie der Mathematik. Kluwer Academic Publishers.